鴨川等間隔の法則の破れについて

鴨川等間隔の法則というのは京都の大学では有名な法則です。曰く、「鴨川のほとりにおいてカップルは等間隔に座る」というものです。なぜ鴨川のほとりに座りたがるのかということはそれはそれで深い疑問ではありますが、今回はその間隔について注目したいと思います。

なお本記事は"Parking and the visual perception of space(Šeba)"の内容を鴨川のカップルに適用しただけで何の新規性もないことを宣言しておきます。
まず数理モデルについて説明し、そこからカップル間隔の確率分布を導出し、等間隔が破れていることを確認します。そこからどのようなことが導かれるかについて述べます。

• 数理モデル

まず考えている状況として、1kmの区間に1000組のカップルが配置されるものとする。またカップルは鴨川に座りたがるため、あるカップルが鴨川を離れるとただちに違うカップルがその空いたスペースに入り、総カップル数は常に一定であるとする。
そのとき空いたスペースのどの位置に座るかは確率分布に従うものとするが、その確率分布は両端で0になること、そして中央で最大になっていること、さらに左右対称になっていることが要請される。この要求を満たす確率分布としてベータ分布(に左右対称性を課したもの)がある:

いくつかのgの値についてグラフを描くと図のようになっている。

対称性を課したベータ分布。gの値が大きいほど中央に集中することがわかる。

• 解析的に得られる結果

このときカップル間隔dの分布がどのようになっているかは解析的に求めることができる(らしい)。証明は追っていないが、その平均を1で規格化したとき、ガンマ分布

のようになる。今回のモデルでは1kmに1000組のカップルを配置するため,dをメートル単位ではかればガンマ分布そのものに従うはずだ。また、今回は冒頭の論文と同じくとした。

• 実際の数値計算

以上のモデルに基づいて数値計算を行った。初期条件は一様分布にとることにし、十分時間がたったあとの分布を調べ、ガンマ分布との一致を見た。以下の図は数値計算の結果とそのフィッティングである。

カップル間距離の分布の数値計算(pdf)とそのガンマ分布によるフィッティング。よく一致していることがわかる

• 結論

ここから、多くのカップルは1m(より少し短い)間隔をあけて座っているが、しかしわりと広がりを持った分布をしているとわかる。もちろんgの値を大きくすればより狭い分布となることは言えるが、それでもガンマ分布に従う以上はある程度の広がりは保証される。ガンマ分布の分散はであるから、かなり強くカップル間の斥力が働いていれば(程度?)、期待値からのずれは10cm以下のオーダー以下になり、ほとんど観測できなくなる。つまり鴨川等間隔の法則が高精度で成立するには大きなgの値が必要となる。

以上はただの数値計算による実験であり、実データとの比較は行っていません。
仮にデータを得ることができたら、まずガンマ分布との比較、そしてフィッティングによるgの値の決定、そこからカップル間の斥力がどの程度かを考えることができます。それは大変面白そうですが、実際に鴨川に出向きカップルの間隔を測定するのは精神的な苦痛から大きな困難を伴うことが予想されるためまだ調査していません。誰か測定してくれたらと切に願っています。